Conjuntos

Conjunto (del latín coniunctus) es lo que está unido, contiguo o incorporado a otra cosa, o que se encuentra mezclado, combinado o aliado con otra cosa diversa. Un conjunto, por lo tanto, es un agregado de varias cosas o personas.

Conjuntos matemáticos

En el ámbito de las matemáticas, un conjunto señala a la totalidad de los entes que tienen una propiedad común. Un conjunto está formado por una cantidad finita o infinita de elementos, cuyo orden es irrelevante. Los conjuntos matemáticos pueden definirse por extensión (enumerando uno a uno todos sus elementos) o por comprensión (se menciona sólo una característica común a todos los elementos).

Fue recién a principios del siglo XIX que los científicos empezaron a utilizar el concepto de conjunto, coincidiendo con los avances en el estudio acerca del infinito. Los matemáticos Bolzano y Riemann, dos personas cuyos aportes aún resultan indispensables en la actualidad, se valieron de los conjuntos abstractos para expresar sus ideas.

También se puede mencionar el trabajo de Dedekind, otro pionero que legó al álgebra moderna importantes fundamentos, con un punto de vista conjuntista; entre los conceptos sobre los cuales trabajó se pueden mencionar las particiones (familias de subconjuntos de un conjunto dado), los morfismos (funciones que relacionan dos objetos matemáticos preservando su estructura) y las relaciones de equivalencia (sirven para encontrar ciertos elementos de un conjunto que tienen características o propiedades comunes).

Sin embargo, el autor de la teoría de conjuntos, estudiado como una disciplina independiente, fue el matemático alemán Georg Cantor, quien investigó con particular devoción los conjuntos de números infinitos y sus propiedades.

Operaciones básicas: 

• Unión

se simboliza con una especie de U, y se trata del conjunto formado por los elementos que pertenezcan a cualquiera de los conjuntos que se propongan para unión (en el caso de A y B, el conjunto resultante será A U B);

• Intersección

Su símbolo es similar a una U rotada 180° y permite hallar los elementos que tienen en común los conjuntos dados;

• Diferencia

Partiendo de los conjuntos A y B, su diferencia será el conjunto A \, formado por los elementos que solo se encuentren en A;

• Complemento

Si un conjunto U contiene uno de nombre A, entonces el complemento de este último será aquel que contenga los elementos que no pertenecen a A;

• Diferencia simétrica

Su símbolo es un triángulo y representa el conjunto de los elementos que pertenezcan tan solo a uno de dos conjuntos dados;

• Producto cartesiano

El conjunto A x B es el producto cartesiano de A y B, y se consigue con pares ordenados de un elemento de A seguido de uno de B (a, b). (Pérez Porto & Gardey, 2010)

A continuación ejemplos de conjuntos aplicando las diferentes operaciones básicas:

sea

A= {1, 2, 3, 4, 5}         

B= {2, 4, 6}

C= {3, 5, 7}

U= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

entonces

·         A U B

{1, 2, 3, 4, 5, 9}

·        
A (intersección) B

{2, 4}

·         C – A

{7}

·        
A (diferencia simetrica) B

{1, 3, 5, 6}

Álgebra de conjuntos con diagramas de Venn.

Los diagramas de Venn son una buena alternativa didáctica para la representación de conjuntos y los enunciados que expresan relaciones entre ellos. La forma habitual de hacerlo es trazar un rectángulo que representa el universo de discurso y dentro de él figuras cerradas (normalmente círculos o elipses) que representan los conjuntos. (Allwein, Gerard &  Barwise, 1996)

Ejemplo:

En una encuesta realizada a 120 personas sobre que marca de teléfono celular preferiría utilizar se obtuvieron los siguientes datos:

Representación de la información mediante un gráfico de Venn:

Preguntas aplicando las diferentes operaciones básicas de conjuntos.

·         ¿Cuántas personas prefieren IPhone?

58 personas prefieren IPhone

·         ¿Cuántas personas prefieren IPhone o Samsung?

34 personas prefieren IPhone o Samsung

·         ¿Cuantas personas prefieren IPhone y Huawei?

86 personas prefieren IPhone y Huawei

Referencias: 

Pérez Porto, J., & Gardey, A. (1 de enero de 2010). Definición de conjunto. Obtenido de Definición de conjunto: https://definicion.de/conjunto/