Estrategias de resolución de problemas : julio 2018

viernes, 6 de julio de 2018

Participantes:

Taylor Esequiel Matías Gómez................22685-18

Anderson Arnoldo Recinos Gutiérrez......22521-18

Julio Daniel Flores Gamarro...................21290-18

Marcos Josue Villatoro Perez.................22688-18

Metodo Pólya

Método de Pólya para resolver problemas matemáticos

Para resolver un problema se necesita:

Paso 1: Entender el problema

¿Cuál es la incógnita?, ¿Cuáles son los datos?
¿Cuál es la condición? ¿Es la condición suficiente para determinar la incógnita? ¿Es insuficiente? ¿Redundante? ¿Contradictoria?

Paso 2: Configurar Un plan

¿Te has encontrado con un problema semejante? ¿O has visto el mismo problema planteado en forma ligeramente diferente?
¿Conoces algún problema relacionado con éste? ¿Conoces algún teorema que te pueda ser útil? Mira atentamente la incógnita y trata de recordar un problema que sea familiar y que tenga la misma incógnita o una incógnita similar.
He aquí un problema relacionado al tuyo y que ya has resuelto ya. ¿Puedes utilizarlo? ¿Puedes utilizar su resultado? ¿Puedes emplear su método? ¿Te hace falta introducir algún elemento auxiliar a fin de poder utilizarlo?
¿Puedes enunciar al problema de otra forma? ¿Puedes plantearlo en forma diferente nuevamente? Recurre a las definiciones.
Si no puedes resolver el problema propuesto, trata de resolver primero algún problema similar. ¿Puedes imaginarte un problema análogo un tanto más accesible? ¿Un problema más general? ¿Un problema más particular? ¿Un problema análogo? ¿Puede resolver una parte del problema? Considera sólo una parte de la condición; descarta la otra parte; ¿en qué medida la incógnita queda ahora determinada? ¿En qué forma puede variar? ¿Puedes deducir algún elemento útil de los datos? ¿Puedes pensar en algunos otros datos apropiados para determinar la incógnita? ¿Puedes cambiar la incógnita? ¿Puedes cambiar la incógnita o los datos, o ambos si es necesario, de tal forma que estén más cercanos entre sí?
¿Has empleado todos los datos? ¿Has empleado toda la condición? ¿Has considerado todas las nociones esenciales concernientes al problema?

Paso 3: Ejecutar el plan

Al ejecutar tu plan de la solución, comprueba cada uno de los pasos
¿Puedes ver claramente que el paso es correcto? ¿Puedes demostrarlo?

Paso 4: Examinar la solución obtenida

¿Puedes verificar el resultado? ¿Puedes el razonamiento?
¿Puedes obtener el resultado en forma diferente? ¿Puedes verlo de golpe? ¿Puedes emplear el resultado o el método en algún otro problema?

Método de Pólya para resolver problemas de programación

Para resolver un problema se necesita:

Paso 1: Entender el problema

¿Cuáles son las argumentos? ¿Cuál es el resultado? ¿Cuál es nombre de la función? ¿Cuál es su tipo?
¿Cuál es la especificación del problema? ¿Puede satisfacerse la especificación? ¿Es insuficiente? ¿Redundante? ¿Contradictoria? ¿Qué restricciones se suponen sobre los argumentos y el resultado?
¿Puedes descomponer el problema en partes? Puede ser útil dibujar diagramas con ejemplos de argumentos y resultados.

Paso 2: Diseñar el programa

¿Te has encontrado con un problema semejante? ¿O has visto el mismo problema planteado en forma ligeramente diferente?
¿Conoces algún problema relacionado con éste? ¿Conoces alguna función que te pueda ser útil? Mira atentamente el tipo y trata de recordar un problema que sea familiar y que tenga el mismo tipo o un tipo similar.
¿Conoces algún problema familiar con una especificación similar?
He aquí un problema relacionado al tuyo y que ya has resuelto. ¿Puedes utilizarlo? ¿Puedes utilizar su resultado? ¿Puedes emplear su método? ¿Te hace falta introducir alguna función auxiliar a fin de poder utilizarlo?
Si no puedes resolver el problema propuesto, trata de resolver primero algún problema similar. ¿Puedes imaginarte un problema análogo un tanto más accesible? ¿Un problema más general? ¿Un problema más particular? ¿Un problema análogo?
¿Puede resolver una parte del problema? ¿Puedes deducir algún elemento útil de los datos? ¿Puedes pensar en algunos otros datos apropiados para determinar la incógnita? ¿Puedes cambiar la incógnita? ¿Puedes cambiar la incógnita o los datos, o ambos si es necesario, de tal forma que estén más cercanos entre sí?
¿Has empleado todos los datos? ¿Has empleado todas las restricciones sobre los datos? ¿Has considerado todas los requisitos de la especificación?

Paso 3: Escribir el programa

Al escribir el programa, comprueba cada uno de los pasos y funciones auxiliares.
¿Puedes ver claramente que cada paso o función auxiliar es correcta?
Puedes escribir el programa en etapas. Piensas en los diferentes casos en los que se divide el problema; en particular, piensas en los diferentes casos para los datos. Puedes pensar en el cálculo de los casos independientemente y unirlos para obtener el resultado final
Puedes pensar en la solución del problema descomponiéndolo en problemas con datos más simples y uniendo las soluciones parciales para obtener la solución del problema; esto es, por recursión.
En su diseño se puede usar problemas más generales o más particulares. Escribe las soluciones de estos problemas; ellas puede servir como guía para la solución del problema original, o se pueden usar en su solución.
¿Puedes apoyarte en otros problemas que has resuelto? ¿Pueden usarse? ¿Pueden modificarse? ¿Pueden guiar la solución del problema original?

Paso 4: Examinar la solución obtenida

¿Puedes comprobar el funcionamiento del programa sobre una colección de argumentos?
¿Puedes comprobar propiedades del programa?
¿Puedes escribir el programa en una forma diferente?
¿Puedes emplear el programa o el método en algún otro programa?

Metodología POLYA en resolución de problemas

La Resolución de problemas

Definición de problema

Un problema es una situación que ubica a quien lo resuelve ante la necesidad de desplegar su actividad cognitiva en un intento de búsqueda de estrategias, de elaboración de conjeturas y toma de decisiones (Azcue, Diez, Lucanera et al., 2006). En términos generales, “un problema surge cuando existen obstáculos entre una situación dada y la situación a la que se quiere llegar, es querer encontrar un camino para poder llegar del estado actual al estado final, o al que se quiere obtener” (Torres, 2011, P. 64). El poder ayudar a que los estudiantes resuelvan problemas debe ser una de las tareas más importantes del docente de matemáticas. En ese orden de ideas, el docente debe buscar estrategias para que los estudiantes resuelvan problemas en diferentes contextos. Con el enfoque del Modelo Pedagógico del Colegio se pretende que los estudiantes resuelvan problemas a partir del desarrollo de sus competencias.

Pasos para resolver problemas

Según Ballestero (2002) la solución de problemas es un complejo constructo, que cumple el doble y poderoso papel de aliado y/o enemigo en materia de enseñanza, ya que interfiere directamente en los procesos de enseñanza-aprendizaje, y por tanto en los niveles de desarrollo alcanzados por el alumno. Generalmente, para resolver un problema se necesitan de una serie de pasos o procedimientos heurísticos que, así sea inconscientemente, un individuo debe tener en cuenta para llegar a la posible solución del mismo (Torres, 2013).

Propósitos

Para los propósitos de este estudio se usará como referencia el método de cuatro pasos para resolver problemas formulados por George Polya (1945). De acuerdo con este autor los pasos son:

1. Entender el problema., 2. Configurar un plan, 3. Ejecutar el plan, y 4. Examinar la solución.

1. Entender el problema: se refiere a que el estudiante pueda responderse una serie de preguntas como ¿Entiendo todo lo que dice el problema?, ¿Puedo replantear el problema con mis propias palabras?, ¿Cuáles son los datos que hacen parte del problema?, ¿Sé a dónde quiere llegar?, ¿Hay suficiente información?, ¿Hay información que no es clara?, ¿Es este problema similar a algún otro que ya haya resuelto antes?

2. Configurar el plan: se refiere al cómo o qué estrategia va a usar el estudiante para resolver el problema. Las estrategias pueden partir desde aplicar pruebas de ensayo y error, hasta plantear toda una táctica que le permita intentar llegar a la solución del mismo.

3. Ejecutar el plan: se refiere a la puesta en práctica de lo que el estudiante estableció en la configuración. Es llevar a cabo una a una las etapas planteadas. En este punto puede suceder que en un momento determinado lo que se planteó no sea pertinente para la solución del problema, razón por la cual hay que replantear la estrategia y volver a comenzar. Generalmente en la ejecución se usan procesos matemáticos que permitan darle la exactitud que requiere la solución del problema.

4. Examinar la solución: se refiere al poderse cuestionar sobre lo que se hizo, ver si el proceso desarrollado permitió en realidad resolver el problema. En este paso el estudiante debe acudir a sus procesos meta cognitivos para revisar si lo que hizo está bien o está mal y, si es necesario, replantear el proceso de resolución.

ANDERSON. 1993. Solución de problemas. [aut. libro] Moisés HUERTAS ROSALES. Aprendizaje Estratégico. Lima : San Marcos, 1993.

BURGUE, MARIO. 1981. Definición de método. [aut. libro] Isabel BOJORQUEZ DOLORES. Modernos métodos y técnicas de enseñanza - aprendizaje. barcelona : Comunicación y Pedagogía, 1981.

FERNANDEZ Bravo, Jose Antonio. 2002. Aplicación de las cuatro operaciones basicas de la mátematica. Madrid : ccss, Alcalá 166, 2002. ISBN:84-8316-486-8.

FERRER. 1983. Resolución de problemas. [aut. libro] Israel MAZARIO TRIANA. La resolución de problemas:un reto para la educación comtemporánea. Habana : Universitaria, 1983.

GAGNÉ, Robert. 2009. Resolución de problemas. [aut. libro] Israel MAZARIO TRIANA. La resolución de problemas: un reto para la educación contemporánea. Habana : Universitaria, 2009.

GARCÍA Martínez, sergio Raúl. 1998. proceso de la resolución de problemas matemáticos. Barcelona : s.n., 1998.

Gráfica

Gráfica

Una gráfica o representación gráfica es un tipo de representación de datos, generalmente numéricos, mediante recursos visuales (líneas, vectores, superficies o símbolos), para que se manifieste visualmente la relación matemática o correlación estadística que guardan entre sí. También es el nombre de un conjunto de puntos que se plasman en coordenadas cartesianas y sirven para analizar el comportamiento de un proceso o un conjunto de elementos o signos que permiten la interpretación de un fenómeno. La representación gráfica permite establecer valores que no se han obtenido experimentalmente sino mediante la interpolación (lectura entre puntos) y la extracción (valores fuera del intervalo experimental).

Gráfica en Estadística

La estadística gráfica es la descripción e interpretación de datos e inferencias sobre estas. Forma parte de los programas estadísticos usados con los ordenadores. Autores como Edward R. Tufte desarrollaron nuevas soluciones de análisis gráficos. Existen diferentes tipos de gráficas:

· Gráfico lineal: los valores se dividen en dos ejes cartesianos perpendiculares entre sí. Las gráficas lineales se recomiendan para representar series en el tiempo, y es donde se muestran valores máximos y mínimos; también se utilizan para varias muestras en un diagrama.

· Gráfico de barras: se usa cuando se pretende resaltar la representación de porcentajes de datos que componen un total. Una gráfica de barras contiene barras verticales que representan valores numéricos, generalmente usando una hoja de cálculo. Las gráficas de barras son una manera de representar frecuencias; las frecuencias están asociadas con categorías. Una gráfica de barras se presenta de dos maneras: horizontal o vertical. El objetivo es poner una barra de largo (alto si es horizontal) igual a la frecuencia. La gráfica de barras sirve para comparar y tener una representación gráfica de la diferencia de frecuencias o de intensidad de la característica numérica de interés.

· Histograma: se emplea para ilustrar muestras agrupadas en intervalos. Está formado por rectángulos unidos a otros, cuyos vértices de la base coinciden con los límites de los intervalos y el centro de cada intervalo es la marca de clase que representamos en el eje de las abscisas. La altura de cada rectángulo es proporcional a la frecuencia del intervalo respectivo.

Gráfico circular: permite ver la distribución interna de los datos que representan un hecho, en forma de porcentajes sobre un total.

· Pictograma: Son imágenes que sirven para representar el comportamiento o la distribución de los datos cuantitativos de una población, utilizando símbolos de tamaño proporcional al dato representado. Una posibilidad es que el gráfico sea analógico, por ejemplo, la representación de los resultados de las elecciones con colores sobre un hemiciclo.

Eje numérico

Un gráfico de eje numérico es un diagrama de barras, de líneas o de área que utiliza un campo numérico o un campo de fecha/hora como campo “A cambio de”. Los gráficos de eje numérico proporcionan un medio para aplicar una escala a los valores del eje X, creándose de este modo un eje 'X' numérico verdadero o un ejemplo X de fecha/hora verdadera.

Gráfico de burbujas

Este tipo de gráfico presenta los datos como una serie de burbuja, el tamaño de las cuales es proporcional a la cantidad de datos. Un gráfico de este tipo resulta muy efectivo para mostrar el número de productos vendidos en cierta región.

Ejemplo:

Referencia Bibliográfica Recuperado

Playfair, W. (24 de noviembre de 2005). The Estatistical Breviary. Cambridge University Press .

https://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica

https://es.wikipedia.org/wiki/William_Playfair

Conjuntos

Conjunto (del latín coniunctus) es lo que está unido, contiguo o incorporado a otra cosa, o que se encuentra mezclado, combinado o aliado con otra cosa diversa. Un conjunto, por lo tanto, es un agregado de varias cosas o personas.

Conjuntos matemáticos

En el ámbito de las matemáticas, un conjunto señala a la totalidad de los entes que tienen una propiedad común. Un conjunto está formado por una cantidad finita o infinita de elementos, cuyo orden es irrelevante. Los conjuntos matemáticos pueden definirse por extensión (enumerando uno a uno todos sus elementos) o por comprensión (se menciona sólo una característica común a todos los elementos).

Fue recién a principios del siglo XIX que los científicos empezaron a utilizar el concepto de conjunto, coincidiendo con los avances en el estudio acerca del infinito. Los matemáticos Bolzano y Riemann, dos personas cuyos aportes aún resultan indispensables en la actualidad, se valieron de los conjuntos abstractos para expresar sus ideas.

También se puede mencionar el trabajo de Dedekind, otro pionero que legó al álgebra moderna importantes fundamentos, con un punto de vista conjuntista; entre los conceptos sobre los cuales trabajó se pueden mencionar las particiones (familias de subconjuntos de un conjunto dado), los morfismos (funciones que relacionan dos objetos matemáticos preservando su estructura) y las relaciones de equivalencia (sirven para encontrar ciertos elementos de un conjunto que tienen características o propiedades comunes).

Sin embargo, el autor de la teoría de conjuntos, estudiado como una disciplina independiente, fue el matemático alemán Georg Cantor, quien investigó con particular devoción los conjuntos de números infinitos y sus propiedades.

Operaciones básicas:

Unión

se simboliza con una especie de U, y se trata del conjunto formado por los elementos que pertenezcan a cualquiera de los conjuntos que se propongan para unión (en el caso de A y B, el conjunto resultante será A U B);

Intersección

Su símbolo es similar a una U rotada 180° y permite hallar los elementos que tienen en común los conjuntos dados;

Diferencia

Partiendo de los conjuntos A y B, su diferencia será el conjunto A \, formado por los elementos que solo se encuentren en A;

Complemento

Si un conjunto U contiene uno de nombre A, entonces el complemento de este último será aquel que contenga los elementos que no pertenecen a A;

Diferencia simétrica

Su símbolo es un triángulo y representa el conjunto de los elementos que pertenezcan tan solo a uno de dos conjuntos dados;

Producto cartesiano

El conjunto A x B es el producto cartesiano de A y B, y se consigue con pares ordenados de un elemento de A seguido de uno de B (a, b). (Pérez Porto & Gardey, 2010)

A continuación ejemplos de conjuntos aplicando las diferentes operaciones básicas:

sea

A= {1, 2, 3, 4, 5}

B= {2, 4, 6}

C= {3, 5, 7}

U= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

entonces

· A U B

{1, 2, 3, 4, 5, 9}

·
A (intersección) B

{2, 4}

· C – A

{7}

·
A (diferencia simetrica) B

{1, 3, 5, 6}

Álgebra de conjuntos con diagramas de Venn.

Los diagramas de Venn son una buena alternativa didáctica para la representación de conjuntos y los enunciados que expresan relaciones entre ellos. La forma habitual de hacerlo es trazar un rectángulo que representa el universo de discurso y dentro de él figuras cerradas (normalmente círculos o elipses) que representan los conjuntos. (Allwein, Gerard & Barwise, 1996)

Ejemplo:

En una encuesta realizada a 120 personas sobre que marca de teléfono celular preferiría utilizar se obtuvieron los siguientes datos: